Чому мінус на мінус дає плюс?
Зі шкільних часів усі знайомі з таким правилом арифметики: множення чисел з різними знаками дає негативний результат, а з однаковими – позитивний. І багатьох цікавило: чому ж мінус на мінус дає плюс? У багатьох школах цей факт залишали без пояснення і учні сприймали це як даність. Сьогодні ми розберемося, чому ж мінус на мінус дає плюс.
Давайте пройдемо по всій логічному ланцюжку від початку до кінця. У давнину, коли арифметика тільки формувалася, від’ємних чисел не існувало, а всі арифметичні операції з’являлися для спрощення з розвитком торгових відносин. Давайте уявимо собі таку ситуацію: ви працювали 5 днів, заробляючи по 10 доларів в день, очевидно, що якщо підсумувати всі доходи у вас вийде: 10+10+10+10+10=50 або 10*5=50 доларів, таким чином, операція множення з’явилася як скорочений запис суми.
Припустимо, ви вирішили сходити в магазин і так вийшло, що продуктів ви набрали на 60 доларів, ви з продавцем домовляєтеся про те, що повинні будете потім віддати йому відсутню десятку і він вам дає записку, де вказано ваш борг. Загалом, на балансі у вас 50-60=-10 доларів. Таким чином, і з’явилися негативні числа, що позначають щось, що ми віддаємо або мають. Якщо така ж ситуація повториться і на наступному тижні, то наш борг буде складати 2*(-10)=-20 доларів і звідси вже зрозуміло, що множення позитивного числа на негативне дає мінус, адже фактично підсумовуються кілька боргів.
Нехай через тиждень, коли ви попрацювали ще п’ять днів і маєте на рахунку -10+5*10=40 доларів, ви зустріли цього продавця, і він попросить вас про якусь послугу, а замість того, щоб платити за неї, він пропонує пробачити борг, цю ситуацію описує наступні вираження: 40-1*(-10) адже ми віддаємо (тому мінус) один папірець з -10 доларами. Логічно, що після цього у вас на балансі буде 50 доларів, тоді і результатом вищезазначеного вираження повинно бути 50, а, значить, -1*(-10) має дорівнювати +10. Саме на такому буденному досвіді люди колись прийшли до висновку, що добуток двох від’ємних чисел повинно дорівнювати позитивного.
Давайте ще поглянемо на це питання з точки зору чистої математики: коли в неї ввели від’ємні числа, вченим хотілося, щоб для них були справедливі такі ж математичні операції, що і для натуральних чисел. Одна з них – розкриття дужок: c*(a+b)=c*a+c*b справедлива для будь-яких натуральних чисел. Тепер давайте перевіримо, як це працює для цілих чисел (натуральні + 0 + негативні). Припустимо, ми маємо вираз -3*(6+(-6)), розкриємо дужки: отримаємо -3*6+(-3)*(-6), ми вже знаємо, що множення негативного на позитивне дає мінус, тому вийде -18+(-3)*(-6). Тепер порахуємо значення цього виразу, не розкриваючи дужки: -3(6+(-6))=-3(6-6), зрозуміло, що 6-6=0 і тоді -3*0=0, а, значить, і -18+(-3)*(-6)=0, тоді твір (-3)*(-6) має дорівнювати 18 для відновлення балансу.
Таким чином, твердження, що мінус на мінус дає плюс не є просто домовленістю між математиками, а має під собою логічні підстави.
Автор: Владислав Кигим. Редакція: Федір Карасенко.
Ставте палець вгору, щоб бачити у своїй стрічці більше статей про космос і науки!
Підписуйтесь на мій канал тут, а також на мої канали і на . Там ви можете почитати велику кількість цікавих матеріалів, а також задати своє питання. Підтримати наш канал матеріально можна через .
